Fattorizzazione dei polinomi: esercizi risolti passo dopo passo

L’algebra è un’area della matematica che viene utilizzata per eseguire operazioni aritmetiche utilizzando simboli, chiamati anche variabili, piuttosto che solo numeri, come in aritmetica.

Per la sua parte, un polinomio è un’equazione algebrica che permette di calcolare i valori della variabile indipendente che definisce una funzione F (x).

Questa equazione algebrica è formata da operazioni aritmetiche tra monomi o espressioni algebriche di un singolo termine e viene utilizzata per calcolare i valori della funzione polinomiale P (x).

Quindi, un polinomio è visto come un’equazione algebrica composta da operazioni aritmetiche tra monomi per determinare il valore della variabile X.

Esempi di polinomi

Diamo un’occhiata ad alcuni esempi di polinomi, che illustrano il concetto:

Fx = 3 × 3 + 5 × 2-x + 9

Px = 6 × 2 + 7x-2

Qx = x + 8

Rx = 4x-1

Polinomi fattoriali

Secondo la matematica, la scomposizione in fattori di un’equazione algebrica sotto forma di moltiplicazione in fattori più semplici è chiamata factoring. Quindi fattorizzare i polinomi è la decomposizione di un polinomio come prodotto di espressioni algebriche o monomi più semplici.

La fattorizzazione dei polinomi è una tecnica che consente di scriverli come il prodotto di monomi e anche il prodotto di altri polinomi. Questi altri polinomi possono essere binomiali come: x + a o come: xa, cioè hanno solo due termini.

Si dice che questa decomposizione sia irriducibile quando non è più possibile esprimere un polinomio come prodotto di altri polinomi o monomi più semplici.

Il factoring di polinomio si ferma quando il polinomio è irriducibile.

Radice di un polinomio

Polinomi fattoriali è trovare il file radici di un polinomio P (x), ovvero trova un valore a, dove il polinomio svanisce: Pa = 0, allora a è il radice polinomiale.

Secondo Teorema del resto, se a è il radice polinomiale P (x), quindi P (x) è divisibile tra xa. Questo perché a polinomio è divisibile per un altro polinomio quando si divide il resto del file divisione è zero.

Casi di fattorizzazione polinomiale

Le tecniche utilizzate per polinomi fattoriali, conosciuto come casi di fattorizzazione polinomiale, sono basati su proprietà di moltiplicazione e in particolare, in proprietà distributiva.

Il casi di fattorizzazione polinomiale che esistono sono:

Fattore comune

Attraverso questo caso, quello che vuoi è identificare qual è il Fattore Comune a tutte le parti che compongono il polinomio. Pertanto, la struttura del polinomio può essere espressa come la moltiplicazione di un gruppo di fattori comuni più semplici.

Esempio di caso di fattori comuni

Il polinomio Px = 6x + ax contiene un fattore di ripetizione in ciascuno dei suoi termini, quindi se lo esprimiamo come prodotto, utilizzando la proprietà distributiva, abbiamo:

Px = x6 + a.

In questo modo, si vede chiaramente che x è il fattore comune, cioè x è il fattore ripetitivo nei due monomi. Se applichiamo ancora la proprietà distributiva alla fattorizzazione eseguita Px = x6 + a, otteniamo il polinomio iniziale Px = 6x + ax.

Raggruppamento di termini

Come risultato della fattorizzazione dei polinomi utilizzando la tecnica del fattore comune, il risultato può essere un polinomio che, a sua volta, ha fattori comuni.

Pertanto, è necessario compiere un secondo passo, che consiste nel riportare in primo piano i fattori comuni. Quindi, la fattorizzazione per raggruppamento di termini è una doppia fattorizzazione della tecnica del fattore comune.

Esempio del caso di raggruppamento di termini

Dato il polinomio Px, y = xy + 4y + 7x + 28 quando si fattorizza la prima volta abbiamo come risultato:

Px, y = yx + 4 + 7 (x + 4), che indubbiamente dà origine a un nuovo polinomio che contiene anche un Fattore Comune, il termine: (x + 4).

Quindi, fattorizzandolo una seconda volta, otteniamo il seguente polinomio:

Px, y = x + 4y + 7.

Differenza di due quadrati

I polinomi identificati come Differenza di due quadrati si formano nel modo seguente:

Px = x2-a2

E il risultato della fattorizzazione è un prodotto notevole, chiamato il prodotto di due binomi coniugati:

Px = x + a (xa)

Caso esemplificativo di differenza di due quadrati

Se abbiamo il seguente polinomio da fattorizzare:

Px = x2-92

Il risultato della fattorizzazione è il prodotto di due binomi coniugati:

Px = x + 9 (x-9)

In altre parole:

Px = x2-9x + 9x-81

Vale a dire:

Px = x2-81

Trinomiale quadrato perfetto

Questo caso è simile a quello della Differenza di due quadrati, perché si deve identificare il Trinomio del Quadrato Perfetto, che è un’equazione algebrica come quella sotto:

Px, y = x2 + 2xy + y2

È un polinomio di tre termini, che per essere identificati, si suggeriscono i seguenti passaggi:

• Devi scegliere una variabile per ordinare il trinomio dall’esponente più alto a quello più basso.
• Due dei termini del polinomio devono essere quadrati perfetti.
• Il termine centrale deve essere il prodotto della moltiplicazione delle due variabili per due.
• È importante tenere conto dei segni per fare il factoring veloce e senza errori.

Il factoring produce il seguente polinomio:

Px, y = x + y (x + y)

Il risultato è un prodotto straordinario, chiamato il quadrato di un binomio:

Px, y = (x + y) 2

Esempio di caso trinomiale quadrato perfetto

Dato il seguente polinomio che vuoi fattorizzare:

Px = x2 + 8x + 16

Identificando il Trinomio Quadrato Perfetto abbiamo:

Px = x2 + 8x + 42

Il risultato del factoring è:

Px = (x + 4) 2

La regola di Ruffini

La Regola di Ruffini è anche conosciuta come Teorema del Riposo, che ci permette di dividere facilmente un polinomio per un binomio del tipo (xa).

Se come risultato della divisione il resto è zero, il polinomio può essere scritto con due fattori.

Questi due fattori risultanti sono, uno di forma (xa) e l’altro, quello che produce l’applicazione della Regola di Ruffini.

Questa regola consente di scomporre facilmente i polinomi di terzo grado o superiori.

Esempio di caso Ruffini’s Rule

Se vogliamo dividere due polinomi PxQx, dove il polinomio Px = x3 + 2 × 2-x-4 e il binomio Qx = x-2, per usare la Regola Ruffini, si fa come le normali divisioni fatte in aritmetica.

Pertanto, tutti i termini del polinomio, compresi quelli che non esistono, vengono posti in alto per dividere ogni termine secondo il suo esponente.

I coefficienti del polinomio P (x) sono 1, 2, -1 e -4, che verranno divisi per il valore 2 di Q (x), ottenendo i seguenti coefficienti: 1, 4 e 7.

Quindi il polinomio risultante è: Rx = x2 + 4x + 7, con un resto di 12.

Come le divisioni che abbiamo imparato in aritmetica, la Regola di Ruffini è molto intuitiva e si basa su tentativi ed errori, poiché non è una formula go-and-go.

Insomma

Per imparare correttamente a fattorizzare i polinomi, la cosa veramente importante è esercitarsi molto, oltre a identificare i fattori comuni.