Gerarchia delle operazioni: regole con esempi ed esercizi risolti

In matematica, la gerarchia delle operazioni si riferisce all’ordine in cui devono essere eseguite le operazioni matematiche. Perché la gerarchia delle operazioni è un metodo per risolvere operazioni matematiche con diversi segni di raggruppamento e più operatori matematici.

I simboli sono chiamati operatori matematici che ci permettono di riconoscere qual è l’operazione matematica che dobbiamo compiere:

  • Per la somma, l’operatore matematico è: “+”
  • Per la sottrazione, l’operatore matematico è: “-“
  • Per la moltiplicazione, l’operatore matematico è: “.” o “×”
  • Per la divisione, l’operatore matematico è: “÷” o “/”

Questa gerarchia stabilisce da dove deve iniziare la risoluzione delle operazioni, tenendo conto delle priorità che vengono stabilite, sia per i segni di raggruppamento che per gli operatori matematici. Di conseguenza, per risolvere operazioni matematiche devi sapere fondamentalmente due cose:

  • Come sopprimere i segni di raggruppamento?
  • Quali operatori hanno la massima priorità per iniziare a risolvere le operazioni matematiche?

Le regole che governano le risposte a queste due domande sono note come gerarchia delle operazioni.

Gerarchia delle operazioni

La gerarchia delle operazioni definisce, prima di tutto, quali sono le priorità delle operazioni matematiche al momento della loro esecuzione. E definisce anche quali sono le priorità per sopprimere i segni di raggruppamento.

Tali priorità stabiliscono sia l’ordine in cui eseguire le operazioni matematiche sia l’ordine in cui rimuovere i segni di raggruppamento. E in base a quelle priorità e all’ordine in cui vengono eseguite, vengono stabilite le regole che governano la risoluzione delle operazioni matematiche.

Segni di raggruppamento

I segni di raggruppamento, come indica il nome, servono a indicare quali operazioni devono essere eseguite per prime. Per chiarire questo punto, le operazioni che classifichiamo come prioritarie sono incluse nei segni di raggruppamento.

In matematica, i segni di raggruppamento più comunemente usati sono:

  • Le parentesi ()
  • Parentesi [ ]
  • I tasti { }

Inoltre, vengono considerati anche i segni di raggruppamento:

  • Barre di frazione /
  • Barre che indicano il valore assoluto | |
  • Il simbolo radice √

Eliminazione dei segni di raggruppamento

L’eliminazione della segnaletica di raggruppamento deve essere effettuata considerando le seguenti premesse:

  • Se il segno di raggruppamento è preceduto da un “+”, viene eliminato solo il segno di raggruppamento, consentendo a tutti i termini interni di mantenere il loro segno, positivo o negativo che sia.
  • Se il segno di raggruppamento è preceduto da un “-“, per eliminare il segno di raggruppamento, la legge dei segni viene applicata a ciascuno dei termini contenuti.
  • L’ordine per eliminare i segni di raggruppamento è prima le parentesi, poi le parentesi e infine le parentesi graffe.

È importante notare che, per modificare i segni di ogni termine, deve essere rispettata anche la legge dei segni di addizione, sottrazione, moltiplicazione e divisione.

Esempi di eliminazione dei segni di raggruppamento

Considerando le premesse precedentemente esposte, vediamo come applicarle in alcuni esempi:

Esempio 1:

Esempio 2:

Regole

Le regole stabiliscono l’ordine in cui le operazioni devono essere eseguite all’interno di un’espressione numerica che contiene più operazioni. L’ordine stabilito per risolvere le operazioni matematiche è il seguente:

Ordine dei calcoli

I calcoli degli operatori di uguale priorità vengono eseguiti da sinistra a destra.

Esempio 1:

4 + 115-9 + 10 = 119-9 + 10 = 110 + 10 = 120

Esempio 2:

formula-3

Rimuovi i segni di raggruppamento

In primo luogo, i segni di raggruppamento vengono eliminati, eseguendo prima le operazioni in essi contenute.

Esempio 1:

(4 + 115) – (9-10) = 119 – (- 1) = 119 + 1 = 120

Esempio 2:

formula-4

Risolvi esponenti e radicali

Successivamente, vengono risolti gli esponenti o le potenze e i radicali o le radici.

Come in questo esempio:

formula-5

Risolvi moltiplicazione e divisione

Il prossimo passo è risolvere le moltiplicazioni e le divisioni.

Diamo un’occhiata a questo esempio:

formula-6

Risolvi addizioni e sottrazioni

Come ultimo passaggio, i numeri positivi e negativi vengono raggruppati insieme, prima di risolvere le addizioni e / o le sottrazioni.

4 + 115-9 + 10-7 = 129-16 = 113

Priorità nella risoluzione delle operazioni matematiche

È importante stabilire quale sia la priorità nella risoluzione delle operazioni matematiche che è necessario considerare per ottenere un risultato corretto:

Passo 1

Quando non ci sono segni di raggruppamento, si inizia risolvendo gli esponenti, quindi le moltiplicazioni e le divisioni, quindi si raggruppano i numeri positivi e negativi, prima di sommarli o sottrarli.

formula-7

3 + 9 + 24-5-10 = 36-15 = 21

Passo 2

Se sono presenti segni di raggruppamento, vengono calcolate le espressioni all’interno dei segni di raggruppamento, prima di rimuoverle utilizzando la legge dei segni e quindi eseguire il passaggio 1.

formula-8

In sintesi

Nelle operazioni matematiche ci sono livelli che non possono essere mescolati durante la loro risoluzione e dovresti sempre partire da quelli più complessi, come esponenti e radicali. Continuando fino a raggiungere i livelli più semplici, come addizione e sottrazione.

Allo stesso modo è fondamentale sapere che se ci sono segni di raggruppamento, siano essi parentesi, parentesi e / o parentesi graffe, devi prima risolvere le operazioni che sono al loro interno. E in ogni momento, mentre si risolvono le operazioni, devono essere rispettate le leggi dei segni di addizione, sottrazione, moltiplicazione e divisione.

Esercizi risolti

Di seguito alcuni esercizi risolti che illustrano quanto visto finora in relazione alla gerarchia delle operazioni:

Esercizio 1

Iniziando, vengono eseguite le operazioni che si trovano all’interno delle parentesi:

formula-9

Una volta effettuati questi calcoli, procediamo ad eliminare le parentesi:

formula-10

Ora, le divisioni sono risolte:

formula-11

Infine, le somme sono risolte:

1 + 6 + 6 = 13

Esercizio 2

Iniziando, le operazioni che si trovano all’interno delle parentesi vengono risolte:

formula-12

In secondo luogo, vengono risolte le operazioni matematiche che si trovano all’interno delle parentesi:

formula-13

Terzo, le moltiplicazioni e le divisioni sono risolte:

formula-14

In quarto luogo, le addizioni e le sottrazioni vengono risolte, raggruppando i numeri positivi e negativi:

30-3-2 = 30-5 = 25

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