Numeri reali: classificazione e proprietà

In matematica, i numeri reali sono un insieme che include numeri naturali, interi, numeri razionali e numeri irrazionali. In altre parole, i numeri reali coprono la maggior parte dei numeri che usiamo nella nostra vita quotidiana. Questo insieme di numeri reali è identificato dalla lettera R.

La parola reale è usata per distinguere i numeri reali dai numeri immaginari, identificati con la lettera i. Dove i è uguale alla radice quadrata di -1, in altre parole:

Ciò che è veramente interessante nel conoscere i diversi tipi di numeri è che aiutano ad aumentare il ragionamento astratto.

Numeri reali

I numeri reali includono numeri positivi e negativi, il numero zero e numeri che non possono essere scritti utilizzando frazioni di due numeri interi. Tutti i numeri reali hanno un ordine e sono scritti come un numero decimale.

UN il numero reale è composto da un numero intero, un decimale esatto, un decimale ripetuto o un decimale con infinite cifre non periodiche.

Classificazione dei numeri reali

La classificazione dei numeri reali stabilisce l’esistenza di numeri naturali, numeri interi, numeri razionali e numeri irrazionali. Qui mostriamo questa classificazione:

Numeri naturali

I numeri naturali sono l’insieme di numeri utilizzati per contare e che non hanno una parte o frazione decimale. Questo insieme di numeri naturali è rappresentato dalla lettera N ed è composto dai numeri: {0,1,2,3,4…}

Alcuni esempi di utilizzo dei numeri naturali sono i seguenti:

  • Ci sono dodici rose in giardino.
  • La popolazione della Svizzera è di otto milioni di persone.
  • La somma di tre più tre è sei.

È importante notare che alcune classificazioni definiscono il numero zero come un numero naturale, mentre altre no.

I numeri naturali sono le basi con cui sono costruiti molti degli altri insiemi di numeri, come interi, razionali, reali e complessi, inclusivi. Data la sua importanza, la teoria dei numeri studia le proprietà dei numeri naturali, come la divisibilità e la distribuzione dei numeri primari. D’altra parte, la combinatoria studia i problemi relativi al conteggio e all’ordinamento, come enumerazioni e partizioni.

Numeri interi

I numeri interi sono l’insieme dei numeri naturali più i loro opposti, senza considerare i numeri che hanno una parte decimale. Questo insieme di numeri interi è rappresentato dalla lettera Z ed è composto dai numeri: {0,1, -1,2, -2,3, -3,4…}

Alcuni esempi di utilizzo dei numeri interi sono i seguenti:

  • La temperatura più bassa in cui sono stato in inverno è di -10 gradi.
  • Mi sono diplomato al liceo 20 anni fa.
  • Mio cugino è arrivato 3 ° nella competizione di atletica leggera.

D’altra parte, quelli che hanno una componente frazionaria non sono numeri interi, come ad esempio: 9.75 o √3. L’insieme Z degli interi è un gruppo numerabile e infinito, che a sua volta è un sottoinsieme dei numeri razionali, che vedremo in seguito.

Numeri razionali

I numeri razionali sono l’insieme dei numeri naturali più i loro opposti, inclusi i numeri che hanno una parte decimale. In altre parole, i numeri razionali sono numeri che sono costituiti da frazioni di numeri interi.

Questo insieme di numeri razionali è rappresentato dalla lettera Q e include numeri interi e qualsiasi altro numero che è il risultato di una frazione.

L’insieme Q di numeri razionali è un gruppo infinito, ma non è numerabile, poiché tutte le frazioni ne fanno parte.

Poiché il risultato di una frazione può essere un numero intero, ciò significa che anche i numeri interi possono essere considerati come numeri razionali. In altre parole, l’insieme Z degli interi è compreso nell’insieme Q dei numeri razionali. Quindi questo insieme Q include numeri naturali, numeri interi, numeri decimali esatti e numeri decimali inesatti.

L’espansione decimale di un numero razionale può terminare in:

  • Un numero finito di cifre o numero decimale esatto, come ad esempio 14.50.
  • Una sequenza ripetuta di una cifra o numero decimale impreciso, come 0,34566666666 …

Per questo motivo, all’interno dei numeri razionali sono inclusi i numeri periodici puri oi numeri periodici misti.

Numeri irrazionali

I numeri irrazionali sono l’insieme di numeri che hanno una parte decimale, che non può essere scritta come risultato della divisione di numeri interi. Questo insieme di numeri irrazionali è rappresentato dalla lettera e include i numeri le cui posizioni decimali sono infinite e irripetibili.

Un esempio di numero irrazionale è il numero π (pi greco) il cui valore è approssimativamente: 3,14159265358979.

Cioè, un numero irrazionale ha infinite cifre decimali, che non sono periodiche. Quindi, anche i radicali o le radici che non possono essere espressi attraverso alcun numero intero o frazione sono numeri irrazionali.

L’insieme I di numeri irrazionali è un gruppo infinito, che non è numerabile. L’insieme I dei numeri irrazionali è scritto come l’insieme R dei numeri reali meno l’insieme Q dei numeri razionali, vale a dire che: I = RQ.

Quindi, i numeri irrazionali sono tutti quei numeri reali che non includono quelli razionali.

Proprietà dei numeri reali

Il Proprietà dei numeri reali sono riassunte nelle seguenti regole:

Proprietà commutativa

La somma dei numeri reali è conforme alla proprietà commutativa, cioè la posizione delle variabili non altera il risultato:

a + b = b + a

La moltiplicazione dei numeri reali è conforme alla proprietà commutativa, cioè che la posizione delle variabili non altera il prodotto:

ab = ba

Proprietà associativa

La somma dei numeri reali è conforme alla proprietà associativa, ovvero:

(a + b) + c = a + (b + c)

La moltiplicazione dei numeri reali è conforme alla proprietà associativa, ovvero:

(ab) .c = a. (bc)

Elemento neutro

Nel caso della somma dei numeri reali, è vero che zero è l’elemento neutro della somma.
Pertanto, quando un qualsiasi numero reale viene aggiunto a più zero, il risultato è lo stesso numero reale, ovvero:

a + 0 = a

Nel caso della moltiplicazione dei numeri reali, è vero che uno è l’elemento neutro della moltiplicazione.

Pertanto, quando un qualsiasi numero reale viene moltiplicato per uno, il risultato è lo stesso numero reale, ovvero:

a.1 = a

Operazioni chiuse

Anche il risultato delle operazioni di addizione e / o moltiplicazione di numeri reali è un numero reale.

Elemento additivo simmetrico o inverso

Nella somma dei numeri reali, si accontenta che per un numero reale ci sia un altro numero reale che è il suo elemento simmetrico, perché uno sommato all’altro dà come risultato zero.

a + (- a) = 0

Moltiplicativo inverso

Nella moltiplicazione dei numeri reali, si accerta che ogni numero reale abbia un altro numero reale che è il suo inverso moltiplicativo, perché uno moltiplicato con l’altro dà come risultato uno.

Proprietà distributiva della moltiplicazione

L’addizione e la moltiplicazione dei numeri reali è conforme alla proprietà distributiva, ovvero:

a. (b + c) = (ab) + (ac)

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