Quali sono le identità trigonometriche? Formule ed esercizi risolti

Identità trigonometriche, consentire il calcolo degli angoli dalle misurazioni del segmento, espresso in unità di lunghezza. Attraverso queste funzioni puoi calcolare tutti gli elementi di un triangolo.

La scienza che studia queste identità o ragioni è la trigonometria. In questo senso, è lo studio delle relazioni tra i lati e gli angoli di un triangolo da parte delle funzioni trigonometriche degli angoli (seno, coseno e tangente).

Il triangolo rettangolo e le identità trigonometriche

Successivamente definiremo le funzioni trigonometriche che possono essere trovate dalle relazioni tra i lati di un triangolo rettangolo.

Seno

Il seno di un angolo α è chiamato il rapporto tra la gamba opposta a quell’angolo e l’ipotenusa del triangolo. La sua formula è la seguente:

Sen ∝ = BC / AB

Coseno

Il coseno di un angolo α è chiamato il rapporto tra la gamba adiacente all’angolo e l’ipotenusa del triangolo. La sua formula è la seguente:

Cos ∝ = AC / AB

Tangente

La tangente di un angolo α è chiamata rapporto tra la gamba opposta all’angolo e la gamba adiacente ad essa. La sua formula è la seguente:

Etichetta ∝ = BC / AC

Calcolando gli inversi delle tre identità trigonometriche sopra, compaiono altri tre motivi che sono:

Cotangente

Cotangente di un angolo α, è l’inverso della tangente dell’angolo α ed è rappresentata come segue:

Lettino ∝ = 1 / (tag ∝)

Essiccazione

La secante di un angolo α, è l’inverso del coseno dell’angolo α ed è rappresentata come segue:

Sec ∝ = 1 / (cos ∝)

Cosecante

La cosecante di un angolo α è l’inverso del seno dell’angolo α ed è rappresentata come segue:

Cosec ∝ = 1 / (sin ∝)

Relazioni tra le identità trigonometriche di un angolo

Come possiamo vedere di seguito, i valori dei diversi rapporti trigonometrici dello stesso angolo non sono indipendenti. Al contrario, sono uniti da una serie di rapporti primordiali:

Relazione tra il seno e il coseno dello stesso angolo:

〖Sen〗 ^ 2∝ + 〖Cos〗 ^ 2∝ = 1

Relazione tra seno, coseno e tangente dello stesso angolo:

Tag∝ = (Sen ∝) / (Cos ∝)

Relazione tra la tangente e il coseno dello stesso angolo:

〖Tag〗 ^ 2∝ + 1 = 〖Sec〗 ^ 2∝

In modo equivalente, la cotangente e la cosecante di un angolo sono correlate:

〖Cotag〗 ^ 2∝ + 1 = 〖Cosec〗 ^ 2∝

Identità trigonometriche della somma e differenza di angoli

Valore del seno della somma di due angoli:

Sen (a + b) = sin b × cos⁡ 〖a + cos⁡ 〖b × sin a〗〗

Valore del coseno della somma di due angoli:

Cos (a + b) = cos b × cos⁡ 〖a-sin b × sin a〗

Differenza di seno e coseno di due angoli:

Sen (ab) = sin a × cos⁡ 〖b-cos⁡ 〖a × sin b〗〗

Cos (ab) = cos a × cos⁡ 〖a + sin⁡ 〖a × sin b〗〗

Tangente di una somma di angoli:

Tag (a + b) = (tag a + tag b) / (1-tag a × tag b)

Tangente della differenza di due angoli:

Tag (ab) = (tag a-tag b) / (1 + tag a × tag b)

Identità trigonometriche del doppio e mezzo angolo

Sen a = √ ((1-cos2a) / 2)

Cos a = √ ((1 + cos2a) / 2)

Tag a = √ ((1-cos2a) / (1 + cos2a))

Formule per la trasformazione in un prodotto della somma e differenza di due seni o due coseni:

Sen (a + b) + sin (ab) = 2 sin a × cos⁡b

Sen (a + b) -sen (ab) = 2cos a × sin b

Cos (a + b) + cos⁡ 〖(ab) = 2 cos⁡a × cos⁡b〗

Cos (a + b) -cos⁡ (ab) = 2 sin a × sin b

Risoluzione dei vari casi di triangoli rettangoli

Innanzitutto, un triangolo viene risolto quando uno dei suoi sei elementi caratteristici (tre lati a, b, ce tre angoli A ̂, B ̂, C ̂). Successivamente, i valori degli elementi sconosciuti vengono calcolati dai valori degli elementi noti.

Il valore dell’angolo retto A ̂ è sempre noto (90 °).

Prendendo i valori degli elementi noti, si possono dare i seguenti casi di risoluzione dei triangoli rettangoli:

• Primo caso: quando si conoscono l’ipotenusa e un dato angolo.
• Secondo caso: conoscere una gamba e un angolo acuto.
• Terzo caso: quando si conoscono i valori dell’ipotenusa e di una gamba.
• Quarto caso: le due gambe (opposte e adiacenti) sono note.

Come si può vedere, in tutti i casi è noto il valore di uno dei lati del triangolo rettangolo.

Risolti problemi di identità trigonometriche

1-Sapendo che sin 35 ° = 0,57358, calcola i valori delle identità trigonometriche (seno, coseno, tangente, cotangente, secante e cosecante) di 55 °.

• sin 55 ° = cos⁡ 〖(90 ° -35 °) = cos⁡ 〖35 ° = 0,819149〗〗
• cos⁡ 〖55 ° = sin (90 ° -55 °) = sin 35 ° = 0,57358〗
• tag 55 ° = cotag (90 ° -55 °) = cotag 35 ° = 1.428133
• cotag 55 ° = tag (90 ° -55 °) = tag 35 ° = 0.700214
• sec⁡ 〖55 ° = cosec (90 ° -55 °) = cosec 35 ° = 1.743435〗
• cosec 55 ° = sec⁡ (90 ° -55 °) = sec⁡ 〖35 ° = 1.220779〗

2-Calcola l’ipotenusa a di un triangolo rettangolo, conoscendo uno dei suoi angoli acuti C ̂ = 70 ° 10 ‘e il lato opposto a tale angolo c = 250 m.

Sia ABC il triangolo in questione.

È noto che Sen C = a / c, da cui:

a = c / (sin c) = 250 / 0,9406 = 265,765 m

3-Sia ABC il triangolo in questione.

È noto che Tag B = b / c, da cui:

b = c × tag B = 284 × tag35 ° 45 ‘= 204,4 cm

4-Sia ABC il triangolo in questione.

La dichiarazione dell’esercizio corrisponde al quarto caso di risoluzione dei triangoli rettangoli.

Perciò:

tag B = 0,78025; B ̂ = etichetta arco 0,78025 = 35 ° 57’47 ”

a = √ (b ^ 2 + c ^ 2) = √43513,114 = 208,597 m

S = 1⁄2 b × c = 10551,753 m ^ 2

Varie applicazioni delle identità trigonometriche nella risoluzione dei triangoli rettangoli

Tutto quanto precedentemente descritto ci permette di calcolare gli elementi di un triangolo isoscele e di un poligono regolare (entrambi possono essere scomposti in triangoli rettangoli). Inoltre, puoi calcolare gli elementi di un trapezio, un rombo e dei rettangoli.

Inoltre, è possibile calcolare le lunghezze d’arco e il raggio della circonferenza in questione. A nostra volta, possiamo risolvere i problemi legati alle irregolarità del terreno, tra molte altre applicazioni.

D’altra parte, hanno un ampio campo di studio nella risoluzione dei triangoli sferici ampiamente utilizzati in astronomia.

La navigazione ha richiesto calcoli di distanza la cui misurazione diretta non è possibile. Per questa ragione, In quest’area sono state messe in pratica una serie di procedure che permettono di mettere in relazione le misure dei lati di un triangolo con le misure dei suoi angoli.

Ad esempio, la distanza da un punto ai piedi di una montagna alla sua cima. Allo stesso modo, da una barca a un certo punto della costa. Può anche essere quello che separa due stelle. Tutto può essere inaccessibile alla misurazione diretta. Tuttavia, l’angolo che la linea di vista forma con un altro mirino impostato in anticipo è facilmente misurabile tenendo conto dell’applicazione di strumenti come le identità trigonometriche.